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Pair of linear equations in two variables in hindi.

रैखिक समीकरण की मानक समीकरण –  a₁x + b₁y + c₁  = 0

                                                                               a₂x + b₂y + c₂   = 0

रैखिक समीकरण  a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂   = 0 एक रैखिक समीकरण युग्म को प्रदर्शित करती है जो निम्न स्थितियाँ उत्पन्न कर सकती है।

रैखिक समीकरण	अनुपात तुलना	ग्राफीय हल	बीजगणितीय हल	संगत / असंगत
a1x + b1y + c1  = 0	a1  =  b1    =  c1	सम्पाती रेखा	अनेक हल	संगत हल
a2x + b2y + c2   = 0	a2       b2      c2			(आश्रित)
a1x + b1x + c1  = 0	a1  =  b1      c1	समान्तर रेखा	कोई हल नहीं	असंगत हल
a2x + b2x + c2   = 0	a2      b2        c2
a1x + b1x + c1  = 0	a1    b1      c1	प्रतिच्छेदी रेखा	अदितीय (एक) हल	संगत हल
a2x + b2x + c2   = 0	a2         b2        c2

प्रशनावली – 3.1

Que. 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए ।

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल 1.  कुल विद्यार्थी = 10

            माना लड़कियों की संख्या = x

            माना लड़को की संख्या = y

प्रश्नानुसार,

             x  =  y + 4 _ _ _ 1

             x + y  =  10 _ _ _ 2

समीकरण 1 से ,

x = y + 4                 माना y = 1                 माना y = 2

माना [y =  0]               x = 1 + 4                    x = 2 + 4

x = 0 + 4                     [ x = 5 ]                     [ x = 6 ]

x	4	5	6
y	0	1	2

समीकरण  2 से ,

x + y =10                              माना y = 1                       माना y = 2

माना  y = 10                     x + 1 = 10                   x + 2 = 10

x + 0  = 10                      x = 10 – 1                    x = 10 – 2

[ x = 10 ]                                [ x  = 9 ]                              [ x  =  8 ]

x	10	9	8
y	0	1	2

X = 7     ,        y = 3

लड़कियों की संख्या = 7

लड़को की संख्या  =  3

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए ।

Sol. माना 1 पेंसिल का मूल्य = x रूपये

     माना  1 कलम का मूल्य = y रूपये

प्रश्नानुसार,

      5x + 7y  =  50 _ _ _ _ 1

      7x  + 5y =  46 _ _ _ _  2

समीकरण 1 से,

5x + 7y = 50

5x = 50 – 7y

x	10	3	-4
y	0	5	10

समीकरण  2 से ,

7x + 5y = 46

5y = 46 – 7x

x	0	5	10
y	9.2	2.2	-4.8

पेंसिल का मूल्य  ( x ) = 3 रूपये

कलम का मूल्य  ( y ) = 5 रूपये

Que. 2. अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं :

1.  5x – 4y + 8 = 0

     7x + 6y – 9 = 0

a₁x + b₁y + c₁  = 0

a₂x + b₂y + c₂   = 0

a₁  = 5  ,    b₁  = -4     ,   c₁  = 8

a₂   = 7  ,   b₂   =  6     ,   c₂   = -9

अतः यह प्रतिच्छेदी रेखाएँ है।

2. 9x + 3y + 12 = 0

   18x + 6y + 24 = 0

a₁  = 9     ,   b₁  =  3     ,   c₁  = 12

a₂   = 18  ,   b₂   =  6     ,   c₂   = 24

अतः यह सम्पाती रेखाएँ है।

3. 6x – 3y + 10 = 0

    2x  – y   + 9   = 0   

a₁  = 6     ,   b₁  =  – 3     ,   c₁  = 10

a₂   = 2     ,   b₂   =  – 1    ,   c₂   = 9

अतः यह समान्तर रेखाएँ है।

3. अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगतः

1. 3x + 2y = 5 ;    2x – 3y = 7

3x + 2y – 5 = 0 ;    2x – 3y – 7 = 0

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ;   a₂x + b₂y + c₂   = 0

( संगत हल )

2. 2x – 3y = 8  ;   4x – 6y = 9

2x – 3y – 8 = 0  ;  4x – 6y – x  = 0

a₁x + b₁x + c₁ = 0 ;  a₂x + b₂x + c₂   = 0

a₁  = 2    ,   b₁  =  – 3     ,   c₁  = – 8

a₂   = 4    ,   b₂   =  – 6    ,   c₂   = – 9

( असंगत हल )

4. 5x – 3y = 11 ;  -10x + 6y = – 22

5x – 3y – 11 = 0  ;  -10x + 6y + 22 = 0

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ;  a₂x + b₂y + c₂   = 0

a₁  = 5    ,   b₁  =   3    ,   c₁  = 11

a₂   = 10  ,   b₂   =  6    ,   c₂   = 22

आश्रित ( संगत ) हल

4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/ असंगत हैं |

1. X + y = 5  ,  2x + 2y = 10

X + y – 5 = 0 ,  2x + 2y – 10 = 0

a₁  = 1    ,   b₁  =   1   ,   c₁  = – 5

a₂   = 2    ,   b₂   =  2    ,   c₂   = – 10

आश्रित ( संगत ) हल

2. x – y = 8  ,  3x – 3y = 16

X – y – 8 = 0 ,   3x – 3y – 16 = 0

a₁  = 1    ,   b₁  =  -1   ,   c₁  = – 8

a₂   = 3    ,   b₂   =  3    ,   c₂   = – 16

( असंगत हल )

3. 2x + y – 6 = 0  ,  4x – 2y – 4 = 0

a₁  = 2    ,   b₁  =  1   ,   c₁  = – 6

a₂   = 4    ,   b₂   = -2  ,   c₂   = – 4

( संगत हल )

4. 2x – 2y – 2  ,  4x – 4y – 5 = 0

a₁  = 2    ,   b₁  =  -2   ,   c₁  = – 2

a₂   = 4    ,   b₂   =  -4  ,   c₂   = – 5

( असंगत हल )

Que. 5. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।

हल  5. माना आयताकार बाग की लंबाई = x

           माना आयताकार बाग की चौड़ाई = y

प्रश्नानुसार,

x = y + 4  -(1)

अर्धपरिमाप = 36 मीटर

x + y = 36

समीकरण 1 से,

x = y + 4

माना y = 0

X = 0 + 4

X = 4

माना y = 1

X = 1 + 4

X = 5

माना y = 2

X = 2 + 4

X = 6

x	4	5	6
y	0	1	2

समीकरण 2 से,

X + y = 36

X = 36 – y

माना y = 10

X = 36 – 10

X = 26

माना y = 12

X = 36 – 12

X = 24

माना y = 14

X = 36 – 14

X = 22

x	26	24	22
y	10	12	14

X = 20

Y  = 16