Quadratic Equations in hindi
द्विघात समीकरण – वे समीकरण जिसमे चर राशि की अधिकतम घात दो हो वे द्विघात समीकरण कहलाती है।
ax2 + bx + c = 0
श्रीधराचार्य सूत्र / द्विघात सूत्र –
मूलो की प्रकृति –
1. मूल वास्तविक और भिन्न
2. मूल वास्तविक तथा समान
3. मूल काल्पनिक
Que. 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:
1. (x + 1)2 = 2 (x – 3)
[ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ]
X2 + 1 + 2x 1 = 2x – 6
X2 + 1 + 2x = 2x – 6
X2 + 2x – 2x + 1 + 6 = 0
X2 + 7 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
2. X2 – 2x = ( -2 ) (3 – x )
X2 – 2x = -6 + 2x
X2 – 2x – 2x + 6 = 0
X2 – 4x + 6 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
3. (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
X2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x -x – 3
X2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
X2 – X2 – x – 2x – 2 + 3 = 0
-3x + 1 = 0
यह द्विघात समीकरण नहीं है।
4. (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
2x2 + x -6x -3 = x2 + 5x
2x2 – 5x – 3 = x2 + 5x
2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
2x2 – x2 – 5x – 5x – 3 = 0
X2 – 10x – 3 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
5. (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5
2x2 – x2 – 7x – 4x + 3 + 5 = 0
X2 – 11x + 8 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
6. x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4
x2 – x2 + 3x + 4x + 1 – 4 = 0
7x – 3 = 0
यह द्विघात समीकरण नहीं है।
7. (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
[ (x + y)3 = x3 + y3+ 3xy (x + y) ]
= x3+ y3+ 3x2y + 3xy2
X3 + ( 2 )3 + 3 ( x )2 X 2 + 3x ( 2 )2 = 2x3 – 2x
X3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x
X3 – 2x3 + 6x2 + 12x + 2x + 8 = 0
-x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0
यह द्विघात समीकरण नहीं है।
8. x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – ( 2 )3 – 3 ( x )2 X 2 + 3x (-2)2
[ (x + y)3 = x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 ]
X3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x
X3 – x3 – 4x2 + 6x2 – x – 12x + 1 + 8 = 0
2x2 – 13x + 9 = 0
यह द्विघात समीकरण है।
2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m है क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में ) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x
माना आयताकार भूखंड की लम्बाई = 2x + 1
प्रश्नानुसार,
लम्बाई x चौड़ाई = 528 m2
(2x + 1) X x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
माना पहला धनात्मक पूर्णांक = x
माना दूसरा धनात्मक पूर्णांक = x + 1
प्रश्नानुसार,
X (x + 1) = 306
X2 + x = 306
X2 + x – 306 = 0
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
माना रोहन की आयु = x वर्ष
माना रोहन की माँ आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष पश्चात,
रोहन की आयु = x + 3
रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3
= x + 29
(x + 3) (x + 29) = 360
X2 + 29x + 3x +87 = 360
X2 + 32x + 87 – 360 = 0
X2 + 32x – 273 = 0
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
माना रेलगाड़ी की चाल = x
माना रेलगाड़ी की दूरी = 480 km
समय = t
चाल = (x – 8) km/h
दूरी = 480 km
समय = (t + 3) hour
(x – 8) (480 + 3x) = 480x
480x + 3x2 – 3840 – 24x = 480x
480x + 3x2 – 3840 – 24x – 480x = 0
3x2 – 24x – 3840 = 0
