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Arithmetic Progressions Solution in Hindi

AP के प्रथम n पदों का योग (S_n) –

AP = a,  a₂,  a₃, _ _ _ _

Que.1. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :

1. 2,  7,  12, _ _ _ _ 10 पदों तक

a = 2     ,     n = 10

d = a₂ – a₁  =  7 – 2 = 5

= 5 [ 4 + 9 X 5 ]

      = 5 [ 4 + 45 ]

      = 5 X 49

S₁₀ = 245

2. -37,  -33,  -29,  _ _ _ _, 12 पदों तक

a = -37     ,     n = 12

d = a₂ – a₁  =  -38 – (-37) = -33 + 37

                                           = 4

S₁₂  = 6 [ -74 + 11 X 4 ]

       = 6 [ -74 + 44 ]

       = 6 X – 30

S₁₂  =  -180

3. 0.6,  1.7,  2.8, _ _ _ _, 100 पदों तक

a = 0.6     ,     n = 100

d = a₂ – a₁  = 1.7 – 0.6 = 1.1

       = 50 [ 1.2 + 99 X 1.1 ]

       = 50 [ 1.2 + 108.9 ]

       = 50 [ 110.1 ]

S₁₀₀ = 5505

Que. 2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :

2. 34 + 32 + 30 + _ _ _ _ + 10

AP = 34,  32,  30, _ _ _ _, 10

a = 34     ,     d = a₂ – a₁  =  32 – 34

a_n = 10                              = -2

a + (n – 1) d = 10

34 + (n – 1) – 2 = 10

-2 (n – 1) = 10 – 34

-2 (n – 1) = -24

      n – 1 = 12

n = 12 + 1

n = 13

S₁₃ = 286

3. -5 + (-8) + (-11) + _ _ _+ (-230)

AP = -5,  -8,  -11, _ _ _ , -230

a = -5     ,     d = a₂ – a₁ = -8 – (-5) = -8 + 5

a_n = -230,                                         = -3

a + (n – 1) d = -230

-5 + (n – 1) – 3 = -230

-3 (n – 1) = -230 + 5

-3 (n – 1) = -225

      n – 1 = 75

            n = 75 + 1

            n = 76

= 38 [ -5 – 230 ]

      = 38 [ -235 ]

S₇₆ = -8930

Que. 3. एक A.P. में,

(i) a = 5, d = 3 और aₙ = 50 दिया है। n और Sₙ ज्ञात कीजिए ।

a = 5,   d = 3,    a_n = 50

               n = ?     ,     S_n = ?

a + (n – 1) d = a_n

5 + (n – 1) 3 = 50

       3 (n – 1) = 50 – 5

       3 (n – 1) = 45

            n – 1 = 15

                   n = 16

      = 8 [ 10 + 45 ]

      = 8 X 45

S₁₆ = 440

(ii) a = 7 और a₁₃= 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए ।

a = 7     ,     a₁₃ = 35     ,     n = 13

d = ?     ,     s₁₃ = ?

a₁₃ = a + (n – 1) d

35 = 7 + (13 – 1) d

35 – 7 = 12d

      = 13 X 21

      = 273

(III) a = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए ।

a₁₂ = 37     ,     d = 3

    a = ?     ,     S₁₂ = ?

a₁₂ = a + (n – 1) d

37 = a + (12 – 1 ) 3

37 = a + 11 X 3

37 = a + 33

37 – 33 = a

a = 4

      = 6 [ 8 + 11 X 3 ]

      = 6 [ 8 + 33 ]

      = 6 X 41

S₁₂ = 246

(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।

a₃ = 15     ,     s₁₀ = 125

    a₁₀ = ?      ,      d = ?

a₃ = 15

a + 2d = 15 – (1)

S₁₀ = 125

5 (2a + 9d) = 125

2a + 9d = 25 – (2)

समीकरण (1) को 2 से गुणा, 

2a + 4d = 30 – (3)

समीकरण (2) – (3)

2a + 9d = 25

-2a + -4d = -30

           5d = -5

             d = -1

d का मान समीकरण (1) में,

a + 2d = 15

a + 2 (-1) = 15

a – 2 = 15

a =  15 + 2

a = 17

a₁₀ = a + 9d

      = 17 + 9 (-1)

      = 17 – 9

      = 8

a₁₀ = 8

(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए ।

d = 5     ,     S₉ = 75

     a = ?     ,     a₉ = ?

S₉ = 75

(vi) a = 2, d = 8 और Sₙ = 90 दिया है। n और aₙ ज्ञात कीजिए।

a = 2     ,     d = 8     ,     S_n = 90

    n = ?     ,     a_n = ?

S_n = 90

2n (2n – 1) = 90

4n² – 2n = 90

4n² – 2n – 90 = 0

2 (2n² – n – 45) = 0

2n² – n – 45 = 0

2n² – 10n + 9n – 45 = 0

2n (n – 5) + 9 (n – 5) = 0

(n – 5) (2n + 9) = 0

n – 5 = 0     ,     2n + 9 = 0

n = 5     ,      2n = -9

यह मान निरस्त करने पर,

a_n = a + (n – 1) d

a₅ = 2 + (5 – 1) X 8

a₅ = 34

(vii) a = 8, aₙ = 62 और Sₙ = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए ।

a = 8     ,     a_n = 62     ,     S_n = 210

    n = ?     ,     d = ?

    a_n = 62

a + (n – 1) d = 62

8 + (n – 1) d = 62

       (n – 1) d = 62 – 8

       (n – 1) d = 54 – (1)

S_n = 210  

n [ 16 + (n – 1) d ] = 210 X 2

समीकरण (1) से,

(n – 1) d = 54

(6 – 1) d = 54

(viii) aₙ = 4, d = 2 और Sₙ = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए ।

a_n = 4     ,     d = 2     ,     S_n = -14

    n = ?     ,     a = ?

    a_n = 4

a + (n – 1) d = 4

a + (n – 1) 2 = 4

a + 2n – 2 = 4

a – 2n = 4 + 2

a + 2n = 6

a = 6 – 2n – (1)

S_n = -14

n (a + n – 1) = -14

n (a + n – 1) = -14 – (2)

समीकरण (1) व (2) से,

n [ 6 – 2n + n – 1 ] = -14

n [ -n + 5 ] = -14

-n²+ 5n = -14

n² – 5n – 14 = 0

n² – 7n + 2n – 14 = 0

n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0

(n – 7)  (n + 2) = 0

n – 7 = 0     ,     n + 2 = 0

n = 7                 n = -2

n का मान समीकरण (1) में,

a = 6 – 2n

a = 6 – 2 (7)

a = 6 – 14

a = -8

(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए ।

a = 3     ,     n = 8     ,     S = 192

    d = ?

48 = 6 + 7d

48 – 6 = 7d

42 = 7d

d = 6

(x) l = 28, S = 144 और कूल पद 9 है, a ज्ञात कीजिये ?

 l = 28     ,     S = 144     ,     n = 9

                           a = ?

16 X 2 = a + 28

32 – 28 = a

4 = a

a = 4

Que. 4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A. P. : 9, 17, 25….. के कितने पद लेने चाहिए?

AP = 9, 17, 25, _ _ _ _

          S_n = 636     ,     n = ?

a = 9     ,     d = a₁ – a₂  =  17 – 9 = 8

636 = n [ 9 + 4n – 4 ]

636 = n [ 5 + 4n ]

636 = 5n + 4n²

0 = 4n² + 5n – 636

द्विघात सूत्र,

Que. 5. किसी A. P का प्रथम पद 5 अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

a = 5     ,     a_n = 45     ,     S_n = 400

         n = ?     ,      d = ?

a_n = 45

a + (n – 1) d = 45

5 + (n – 1) d = 45

      (n – 1) d = 45 – 5

      (n – 1) d = 40 – (1)

S_n = 400

n [ 10 + (n – 1) d ] = 400 X 2

समीकरण (1) से,

n [ 10 + 40 ] = 800

n X 50 = 800

n = 16

n का मान समीकरण (1) में,

(16 – 1) d = 40

15d = 40

Que. 6. किसी A. P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमश: 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

a = 17     ,     a_n = l = 350     ,     d = 9

           n = ?     ,     S_n = ?

a_n = 350

a_n = a + (n – 1) d

350 = 17 + (n – 1) 9

350 – 17 = 9 (n – 1)

333 = 9 (n – 1)

n – 1 = 37

       n = 37 + 1

       n = 38

= 19 X 367

S₃₈ = 6973

Que. 7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

S₂₂ = ?    ,     d = 7     ,     a₂₂ = 149

           a₂₂ = 149

a + 21d = 149

a + 21 X 7 = 149

a + 147 = 149

a = 149 – 147

a = 2

       = 11 X 151

S₂₂ = 1661

Que. 8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

S₅₁ = ?    ,     a₂ = 14     ,     a₃ = 18

           d = a₃ – a₂ = 18 – 14

           d = 4

a₂ = a + d

14 = a + 4

14 – 4 = a

a = 10

      = 51 X 110

S₅₁ = 5610

Que. 9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।

S₇ = 49     ,     S₁₇ = 289

            S_n = ?

S₇ = 49    

समीकरण (1) – (2) करने पर,

a + 3d = 7

-a + -8d = -17

        -5d = -10

            d = 2

समीकरण (1) से,

a + 3d = 7

a + 3 (2) = 7

a = 7 – 6

a = 1

Que. 10. दर्शाइए कि a₁, a₂, …, aₙ, .. से एक A. P. बनती है, यदि aₙ नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :

AP = a₁,  a₂, _ _ _ _, a_n

1. a_n = 3 + 4n

= n = 1

a₁ = 3 + 4 (1)

a = 7

n = 15

a₁₅ = 3 + 4 (15)

      = 3 + 60

a₁₅ = 63

= 15 X 35

S₁₅ = 525

2. a_n = 9 – 5n

    n = 1

a₁ = 9 – 5 (1)

a = 9 – 5

a = 4

n = 15

a₁₅ = 9 – 5 (15)

      = 9 – 75

a₁₅ = -66

S₁₅ = -465

Que. 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

1,  2,  3,  4, _ _ _ _

AP = 6,  12,  18, _ _ _ _ a₄₀ (240)

a = 6     ,     d = a₂ – a₁ = 12 – 6 = 6

n = 40

a_n = a + (n – 1) d

a₄₀ = 6 + (40 – 1) 6

a₄₀ = 6 + 39 X 6

     = 6 + 234

     = 240

      = 20 X 246

S₄₀ =  4920

Que. 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

AP = 8,  16,  24, _ _ _ _

a = 8     ,     d = 8     ,     n = 15

      = 15 X 64

S₁₅ =  960

Que. 14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए ।

AP = 1,  3,  5, _ _ _ _ 49

a = 1     ,     d = 3 – 1 = 2     ,    a_n = 49

a_n = 49

a + (n – 1) d = 49

1 + (n – 1) 2 = 49

   2 (n – 1) = 48

       n – 1 = 24

              n = 24 + 1

              n = 25

      = 25 X 25

S₂₅ = 625

Que. 15. निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?

AP = 200,  250,  300, _ _ _ _

n = 30     ,     a = 200     ,     d = 50

      = 15 [ 400 + 29 X 50 ]

      = 15 [ 400 + 1450 ]

      = 15 X 1850

S₃₀ = 27750

Que. 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए ।

S₇ = 700     ,     n = 7

AP = x,  x – 20,  x – 40, _ _ _ _

a = x     ,     d = x – 20 – x = -20

100 = x – 60

100 + 60 = x

X = 160 = a

Que. 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

1,  2,  3, _ _ _ _ 12

AP = 3 X 1,  3 X 2,  3 X 3, _ _ _ _ 3 X 12

      = 3,  6,  9, _ _ _ 36

a = 3     ,     d = 6 – 3 = 3     ,      a₁₂ = 36

n = 12     ,     S₁₂ = ?

      = 6 X 39

S₁₂ = 234

Que. 18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, … वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ?

n = 13     ,     a = 0.5

AP = 0.5,  1.0,  1.5,  2, _ _ _ 

d = a₂ – a₁  = 1.0 – 0.5 = 0.5 cm

Que. 19. 200 लट्ठों (logs ) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

AP = 20,  19,  18,  17, _ _ _ _

S_n = 200     ,     n = ?     ,     a_n = ?

a = 20     ,     d = 19 – 20 =  -1

200 X 2 = n [ 40 – 1n + 1 ]

400 = n [ -n + 41 ]

400 = -n² + 41n

n² – 41n + 400 = 0

n² – 16n – 25n + 400 = 0

n (n – 16) -25 (n – 16) = 0

(n – 16)  (n – 25) = 0

n – 16 = 0              n – 25 = 0

n = 16                     n = 25

a_n = a + (n – 1) d

a₁₆ = 20 + (16 – 1) (-1)

      = 20 – 15

a₁₆ = 5

a_n = a + (n – 1) d

a₂₅ = 20 + (25 – 1) (-1)

      = 20 – 24

a₂₅ = -4

अतः यह मान निरस्त करने पर,