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Arithmetic Progressions class 10^th in hindi

Que. 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a, है:.

1. a = 7 ,  d = 3  ,  n = 8  ,  a_n = ?

a_n  = a + (n – 1) d

a₈  = 7 + (8 – 1) 3

      = 7 + 7 X 3

      = 7 + 21

a₈   = 28

2. a = 18  ,  d = ?  ,  n = 10  ,  a_n = 0

a_n  =  a + (n – 1) d

0   =  -18 + (10 – 1) X d

0   =  -18 + 9d

18 = 9d

d   =  2

3. a = ?  ,  d = -3   ,  n = 18  ,  a_n = -5

a_n  =  a + (n – 1) d

-5  =  a + (18 – 1) (-3)

-5  =  a + 17 X -3

-5  =  a – 51

-5 + 51 =  a

  a  =  46

4. a = -18.9  ,  d = 2.5  ,  n = ?  ,  a_n = 3.6

a_n  =  a + (n – 1) d

3.6 = -18.9 + (n – 1) d

3.6 + 18.9 = 2.5n – 2.5

22.5 =  2.5n – 2.5

22.5 + 2.5 = 2.5n

25.0 = 2.5n

n = 10

5. a = 3.5  ,  d = 0  ,  n = 105  ,  a_n = ?

a₁₀₅ = a + (n – 1) d

a₁₀₅ = 3.5 + (105 – 1) X 0

a₁₀₅ = 3.5 + 0

a₁₀₅ = 3.5

Que. 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

1. AP = 10, 7, 4 _ _ _ _ _ a₃₀

a = 10

d = a₂ – a₁

   = 7 – 10 = -3

a_n = a + (n – 1) d

a₃₀ = 10 + (30 – 1) X 0

      = 10 + 29 X – 3

      = 10 – 87

a₃₀ = -77

Que. 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

1. AP –   2 ,  _____ , 26

a = 2   ,   a₂ = ?   ,   a₃ = 26

a = 2 _ _ _ _ – (1)

a₃ = 26

a + (n – 1) d = 26

2 + (3 – 1) d = 26

2d = 26 – 2

2d = 24

d = 12

a₂ = a + (n – 1) d

    = 2 + (2 – 1) X 12

    = 2 + 12

a₂ = 14

2. a,  13,  a₃,  3

a₂ = 13

a + (n – 1) d = 13

a + (2 – 1) d = 13

a + d = 13 _ _ _ _ – (1)

a₄ = 3

a + (4 – 1) d = 3

a + 3d = 3 _ _ _ _ (2)

समीकरण (1) – (2) करने पर,

a + d = 13

-a + -3d = -3

-2d = 10

d =  -5

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a + (-5) = 13

a – 5 = 13

a = 13 + 5

a = 18

a₃ = a + (n – 1) d

    = 18 + (3 – 1) (-5)

    = 18 – 10

a₃ = 8

4. -4,  a₂,  a₃,  a₄, a₅, 6

a = -4

[ a₆ = 6 ]

a + 5d = 6

-4 + 5d = 6

        5d = 6 + 4

        5d = 10

[ d = 2 ]

a₂ = a + d

    = -4 + 2 = -2

a₃ = a + 2d

     = -4 + 2 X 2

     = -4 + 4

[ a₃ = 0 ]

a₄ = a + 3d

    = -4 + 3 X 2

    = -4 + 6

[ a₄ = 2 ]

a₅ = a + 4d

     = -4 + 4 X 2

     = -4 + 8

[ a₅ = 4 ]

5. a,  38,  a₃,  a₄,  a₅,  -22

a₂ = 38  ,  a₆ = -22

a + (n – 1) d = 38

a + (2 – 1) d = 38

       a + d = 38 – (1)

  a₆ = -22

a + 5d = -22  – (2)

समीकरण (1) व (2) से,

a + d = 38

a + -5d = – + 22

-4d = 60

-d = 15

[ d = -15 ]

समीकरण (1) से,

a + d = 38

a + (-15) = 38

a = 38 – 15  

[ a = 23 ]

Que. 4. A.P. : 3, 8, 13, 18, का कौन सा पद 78 है?

3,  8,  13,  18 _ _ _ _, 78

a = 3             d = a₂ – a₁

a_n = 78         d = 8 – 3

                   [ d = 5 ]

a_n = a + (n – 1) d

78 = 3 + (n – 1) 5

78 – 3 = (n – 1) 5

75 = 5 (n – 1)

n – 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

Que. 5. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?

1. 7, 13, 19,…,205

a_n = a + (n – 1) d

205 = 7 + (n – 1) 6

205 – 7 = 6 (n – 1)

198 = 6 (n – 1)

33 = n – 1

n = 33 + 1

n = 34

-65 X 2 = -5 (n – 1)

130 = 5 (n – 1)

n – 1 = 26

      n = 26 + 1

      n = 27

Que. 6. क्या A. P., 11, 8, 5, 2 का एक पद- 150 है? क्यों ?

A.P = 11,  8,  5,  2 _ _ _ _, – 150

a = 11                 d = a₂ – a₁

a_n = -150            d = 8 – 11

                          [ d = -3 ]

a_n = a + (n – 1) d

-150 = 11 + (n – 1) – 3

-150 – 11 = -3 (n – 1)

-161 = -3 (n – 1)

53.6 = n – 1

n = 53.6 + 1

n = 54.6

Que. 7. उसA.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38  और 16वाँ पद 73 है।

    a₃₁ = ?

    a₁₁ = 38

    a₁₆ = 73

a₁₁ = 38

a + 10d = 38 – (1)

a₁₆ = 73

a + 15d = 73 – (2)

समीकरण (1) – (2) करने पर,

a + 10d = 38

a + 15d = 73

      -5d = -35

         d = 7

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a + 10d = 38

a + 10(7) = 38

a + 70 = 38

a = 38 – 72

a = -32

a₃₁ = a + (n – 1) d

      = -32 + (31 – 1) 7

      = -32 + 30 X 7

      = -32 + 210

a₃₁ = 178

Que. 8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए ।

    a₃ = 12

    a₅₀ = 106

    a₂₉ = ?

कुल पद = 50

a₃ = 12

a + 2d = 12 – (1)

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a₅₀ = 106

a + 49d = 106 – (2)

समीकरण (1) – (2) करने पर,

a + 2d = 12

a + 49d = 106

-47d = -94

d = 2

a + 2d = 12

a + 2 X 2 = 12

a = 12 – 4

a = 8

a₂₉ = a + (n – 1) d

      = 8 + (29 – 1) 2

      = 8 + 28 X 2

      = 8 + 56

a₂₉ = 64

Que. 9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?.

    a₃ = 4

    a₉  = -8

a₃ = 4

a + 2d = 4 – (1)

a₉  = -8

a + 8d = -8 – (2)

समीकरण (1) – (2) करने पर,

a + 2d = 4

a + 8d = -8

-6d = 12

d = -2

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a + 2d = 4

a + 2 (-2) = 4

a – 4 = 4

a = 4 + 4

a = 8

a_n = 0

a + (n – 1) d = 0

8 + (n – 1) (-2) = 0

-2 (n – 1) = -8

             n = 4 + 1

             n = 5

Que. 10. किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए ।

a₁₇ =  a₁₀ + 7

a + 16d = a + 9d + 7

a + 16d – a – 9d = 7

                        7d = 7

                          d = 1

Que. 11. A.P. : 3, 15, 27, 39, का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

AP = 3, 15, 27, 39, _ _ _ _ a₅₄ + 132

a_n = a₅₄ + 132

a = 3       d = a₂ – a₁    = 15 – 3

               d = 12

a_n = a₅₄ + 132

a + (n – 1) d =  a + (54 – 1) d + 132

3 + (n – 1) 12 = 3 + 53 X 12 + 132

3 + 12 (n – 1) = 135 + 636

12 (n – 1) = 135 + 636 – 3

12 (n – 1) = 768

       n – 1  = 64

               n = 65

Que. 12. दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अंतर क्या होगा ?

      A.P = a,  a₂,  a₃, _ _ _ , a₁₀₀, _ _ _ a₁₀₀₀

      A.P₂  = A,  A₂,  A₃, _ _ _ , A₁₀₀,_ _ _  A₁₀₀₀

सार्वअंतर  = d

प्रश्नानुसार,

-a₁₀₀ – A₁₀₀ = 100

a + 99d – (A + 99d) = 100

a + 99d – A – 99d = 100

a – A = 100 – (1)

a₁₀₀₀ – A₁₀₀₀

a + 999d – (A + 999d)

a + 999d – A – 999d

a – A

समीकरण (1) से,

[ a – A = 100 ]

Que. 13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?

100,  101,  102, _ _ _ , 999

AP = 105,  112,  119, _ _ _ 994

a = 105

d = a₂ – a₁ = 112 – 105

d = 7

a_n = 994

a + (n – 1) d = 994

105 + (n – 1) 7 = 994

           7 (n – 1) = 994 – 105

           7 (n – 1) = 889

                n – 1 = 127

                       n = 127 + 1

                       n = 128

Que. 14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

10, 11, 12, …………………, 250

AP – 12, 16, 20, …………………..248

a = 12

d = 4

a_n = 248

a + (n -1) d = a_n

12 + (n -1) 4 = 248

4 (n -1) = 248 – 12

4 (n -1) = 236

n -1 = 59

n = 59 + 1

n = 60

Que. 15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, और 3, 10, 17,… के वें पद बराबर होंगे?

AP₁ = 63, 65, 67 ………………..a_n

AP₂ = 3, 10, 17…………………a_n

AP₁ = 63, 65, 67

a = 63,                  d = 65 – 63 = 2

AP₂ = 3, 10, 17

A = 3,                   D = 10 – 3 =7

     a_n                      =             a_n

a + (n – 1) d = A + (n – 1) D

63 + (n – 1) 2 = 3 + (n – 1) 7

63 + 2n -2 = 3 + 7n -7

61 + 2n  =  7n – 4

2n – 7n = -4 – 61

-5n = -65

n = 13

Que. 16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

a₃ = 16

a₇ = a₅ +12

a₃ = 16

a + (n -1) d = 16

a + (3 -1) d = 16

a + 2d = 16 ——–(1)

a₇ = a₅ + 12

a + 6d = a + 4d +12

a + 6d -a -4d = 12

2d = 12

d = 6 ————-(2)

d का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a + 2d = 16

a + 2(6) =16

a + 12 =16

a = 16 -12

a = 4

a₂ = a + d

    = 4 + 6

a₂ = 10

a₄ = a + 3d

     = 4 + 3 X 6

     = 4 + 18

a₄ = 22

AP – 4, 10,16, 22………………..

Que. 17. A.P. : 3, 8, 13, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए ।

AP = 3, 8, 13, ………………..,253

AP = 253, ………………….. 13, 8, 3

a = 253

d = -(a₂ – a₁) = – (8 – 3)

                         = -5

a₂₀ = a + (n -1) d

       = 253 + (20 – 1) X -5

       = 253 + 19 X -5

       = 253 – 95

a₂₀ = 158

Que. 18. किसी A. P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A. P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए ।

a₄ + a₈ = 24

a₆ + a₁₀ = 44

a₄ + a₈ = 24

a + 3d + a + 7d = 24

2a + 10d = 24

2 (a + 5d) = 24

a + 5d = 12 ————–(1)

a₆ + a₁₀ = 44

a + 5d + a + 9d = 44

2a + 14d = 44

2 (a + 7d) = 44

a + 7d = 22 —————–(2)

समीकरण (1) – (2) करने पर,

a + 5d = 12

a + 7d = 22

-2d = -10

d = 5

d  का मान समीकरण (1) में ,

a + 5d =12

a + 5(5) = 12

a + 25 = 12

a = 12 – 25

a = -13

a₂ = a + (n -1) d

    = -13 + (2 -1) 5

    = -13 + 5

a₂ = -8

a₃ = a + (n -1) d

     = -13 + (3 -1) 5

     = -13 + 2 X 5

     = -13 + 10

a₃ = -3

AP = -13, -8, -3………….

Que. 19. सुब्बा राव ने 1995 में ₹5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया ?

AP = 5000, 5200, 5400 ………..7000

d = 200,       a = 5000,          a_n = 7000

a_n = a + (n -1) d

7000 = 5000 + (n -1) X 200

7000 – 5000 = 200 (n -1)

2000 = 200 (n – 1)

n – 1 = 10

n = 10 +1

n = 11

  11 वे वर्ष उसका वेतन 7000 रुपए होगा।

Que. 20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹50 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 17.5 बढ़ाती गई । यदि वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 207.50 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए ।

AP – 50, 67.5, ………………..207.50

a = 50,         d = 17.5,                 a_n = 207.50

a + (n -1) d = a_n

50 + (n – 1) 17.5 = 207.50

17.5 (n – 1) = 207.50 – 50

17.5 (n – 1) = 157.50

n – 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10